浅析数列求和法

2021-04-06
  浅析数列求和法
  
  作者/马春艳
  
  摘 要:数列求和是高中数学知识中的重点和难点,它在高考中出现的频率高,题型多种多样,考查方式灵活。将数列求和的方法进行总结和归纳能够帮助学生找到其中的解题规律,提高该类型题的成功率。
  
  关键词:高中数学;数列求和;方法;归纳
  
  求数列的前n项和是数列题中的高频考点。它的考查十分灵活,题型变化多样,有以选择题的方式出现,有的则是填空题,甚至还会以一道综合大题的方式进行考查。本文通过用列举典型题的方式,总结归纳了6种常见的数列求和方法,供大家参考。
  
  一、倒序相加法
  
  如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。倒序相加法是数列求和当中应用最广的一种解题方法,它的基本类型可以用公式表示为:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3…具体解法见下面的例题。
  
  例:设等差数列{an},公差为d,求证:{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2
  
  解:Sn=a1+a2+a3+…+an①
  
  倒序得:Sn=an+an-1+an-2+…+a1②
  
  ①+②得:2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
  
  又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1
  
  ∴2Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2
  
  倒序相加法的解题关键就是要能够看到首项和末项之间的关系,这就需学生要有一定的敏感度,一眼就能找准解题的方法,然后就是要细心地做。(www.fwsir.com)因此,做数列题除了要注意总结和归纳解题方法外,大量的习题训练也是十分必要的。
  
  二、用公式法
  
  对等差数列、等比数列,求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。等差数列的基本求和公式为:Sn=(a1+an)n/2;变形公式为Sn=na1+n(n-1)d/2(d为公差)。等比数列的求和公式为:Sn=na1(q=1);Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)(q≠1)(q为公比,n为项数)。利用公式来求数列之和是一种比较基本的题型,它的难度不大,只要掌握基本公式,并且具有一定的敏感度就能做对这类型的题。
  
  三、裂项相消法
  
  裂项相消法是数列求和中比较难的一类题型,因为它不好看出数列之间的规律。如果裂项不对,也不能将问题解出。裂项相消法的解题原理是:将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限项,从而求出数列的前n项和。
  
  四、错位相减法
  
  若在数列{an·bn}中,{an}成等差数列,{bn}成等比数列,在和式的两边同乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以求出{anbn}前n项和。
  
  错位相减法其实并不难,关键是要细心,要能找好两个式子之间的对应项,如果二者相减的时候没有找准对应项,即便思路再对,也会满盘皆输。因此,做任何一道数列题,都要求书写工整,格式规范,以免造成不必要的失分。
  
  五、叠加法
  
  叠加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n),其中f(n)在等差数列或等比数列的'条件下,可把这个式子变成an+1-an=f(n),代入各项,得到一系列式子,把所有的式子加到一起,经过整理,可求出an,从而求出Sn.
  
  六、分组求和法
  
  分组求和法就是对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,最后将其合并的方法。记住了这一类题型的特点,就能准确找到解题思路。
  
  总之,数列求和以其灵活多变的出题方式和较高的错题率成为高中数学中的难点。这类题虽然难,但也并不是无规律可循的。万变不离其宗,教师在讲课当中应该帮助学生多多总结归纳相关的解题技巧和解题方法,并配合适当的试题训练;学生自身也要多思考,可以准备一个错题记录本时常翻看,有助于将这类问题消化吸收,最终将其完全掌握。
  

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