给中等职业学校的同学们

给中等职业学校的同学们

　　学法指导充分必要条件及其应用——给中等职业学校的同学们
　　
　　作者/张君
　　
　　在山东省中等职业教育规划教材《数学》第一册的第一章第4节讲了“充要条件”即“充分必要条件”这一部分内容。“充要条件”在初等数学中具有十分重要的作用，对学生回过头来复习掌握如平面几何中的像平行线有关定理、对进一步学习数学知识等具有重要意义。
　　
　　关于充要条件，首先要明确“命题”以及“正假命题“的概念。
　　
　　所谓命题，在（义务教育课程标准实验教科书《数学》（八年级下册第六章“证明”（一）第2节“定义与命题”P179像“如果……那么……”对事物有判断性的语句，叫做命题（statement）。如“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，简单叙述为“对顶角相等”。正确的命题称为真命题（true statement），不真确的命题称为假命题（counter statement）。要说明一个命题是假命题（不正确的或者说不成立的），只要举出一个例子，这个例子具有命题的条件，但结论不成立即可。如“相等的角是对顶角”是个假命题。这种例子称之为反例（counter example）。
　　
　　充要条件，既充分有必要的条件。
　　
　　所谓充分条件，像“如果p,那么q”这种命题正确，我们则说条件p是结论q的充分条件，又称结论q是条件p的必要条件。
　　
　　一个命题，由条件得到结论是正确的，真命题；反过来原命题的结论作条件、原命题的条件做结论，得到的命题仍然成立，即仍然是真命题，则原命题的条件、结论互为充要条件。
　　
　　把一个真命题（即正确的命题）的条件和结论反过来得到的命题，即原命题的逆命题。是否正确？（即是否是真命题）？
　　
　　把一个真命题的条件给否定了，结论也否定，得到的是原命题的否命题。原命题的否命题是否是真命题？
　　
　　把一个真命题的逆命题的条件给否定了，结论也否定，得到的是原命题的逆否命题。原命题的逆否命题是否是真命题？
　　
　　这些对前面所学的初等数学、今后的数学学习和生活等具有重要意义。
　　
　　记住了一个的命题和它的逆命题、否命题以及逆否命题的关系，回过头来记初等数学的定理就容易了许多。
　　
　　如定理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，则这两条直线平行。简单的说，“同位角相等，两直线平行”与定理： 两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，则同位角相等。简单地说，“两直线平行，同位角相等”互为逆定理（当然也互为逆命题）。
　　
　　一个的命题和它的逆命题、否命题以及逆否命题的真假关系（参见：中等职业教育国家规划教材《数学》（基础版）第一册（修订本）第23页）是：
　　
　　如果原（来的）命题是正确的，它的逆命题不一定是正确；
　　
　　如果原命题是正确的，它的否命题也不一定是正确的；
　　
　　如果原命题是正确的，它的逆否命题则一定是正确的。
　　
　　如 “两锐角和不等于90度的三角形不是直角三角形”是真命题。原命题“直角三角形两锐角和等于90度是真命题、是定理。
　　
　　如：我们知道，三角形的内角和是180度。那么内角和不是180.度的多边形则一定不是三角形。后者是前者的逆否命题，前者是正确的、真命题，后者也是正确的、真命题。
　　
　　又如，在生活中的应用：
　　
　　如“警察的制服是蓝色的”，是真命题；它的逆命题“（穿）蓝色制服的是警察”则是假命题；它的否命题“不是警察穿的就不是蓝色制服”是假命题；它的逆否命题“制服不是蓝色的，不是警察”是真命题。
　　
　　一个的命题和它的逆命题、否命题以及逆否命题的真假关系，主要用在初等数学的判断题上。