《函数性质的运用》案例分析

2008-08-02
一、相关背景介绍 建构主义理论告诉我们,学习是学生在原有认知经验基础上主动建构新知识的过程。这一建构过程实际上需要学生将原有知识与新知识(包括思想、观点、方法)进行有效组合与沟通。而学生知识、方法的迁移,水平、能力的提高均依赖于这个过程。从这个意义上说,数学学习实际上是指学生对数学现象的领悟和实质理解。抽象函数这部分内容,体现了数学的高度抽象性和简洁性,近几年高考几乎每年都有类似的题目。由于它的提干都是由抽象的数学符号给出,因此它对学生阅读理解数学语言和符号的能力要求很高。对学生的思维能力是一个大的挑战。 二、本节课教学目标 1 、知识与技能 ① 使学生深刻理解函数的奇偶性、周期性、对称性等性质。掌握代数变换的方法。 ② 学会阅读理解数学语言和符号,会综合运用函数性质解题。 2 、过程与方法 通过让学生经历阅读、理解、探索求解的过程,渗透化归转化的思想、数形结合的思想。寻求合理、有效的途径,解决数学问题。 3 、情感、态度、价值观 使学生领会数学的抽象性和严谨性,培养他们实事求是的科学态度,积极参与和勇于探索的精神。 4 、重点:综合运用函数性质解题 难点:对文字语言、符号语言、图形语言三种语言的理解和相互转换。 三、设计理念 1 、首先通过复习函数的性质导入,训练学生对数学的文字语言、符号语言和图形语言这三种语言的相互转换 2 、例 1 的设计的意图是: 加深学生对函数概念、性质的理解。教学生学会阅读、理解数学语言、符号;学会文字语言、图形语言、符号语言的相互转化。通过一题多解、一题多思,渗透化归转化和数形结合的思想,以及代数变换的方法,培养他们的思维能力。课堂形式是:分组讨论。 3 、例 2 的设计主要让学生独立思考解答 探求多种解法,思考、交流、表达,体现学生主体参与合作学习。 要求学生综合运用函数性质解题,提高他们抽象思维能力,问题延伸思考,主要针对较好学生,让他们课后继续钻研,提高分析问题、解决问题能力,也体现了分层教学的思想。 四、下面是课堂实录《函数性质的运用》 师:前面我们已经分别复习了函数的奇偶性、单调性、对称性及周期性等。今天我们学习函数性质的综合运用。请先思考回答以下问题: ① 若函数 f ( x )是奇函数,如何用符号表示?用图形表示? ② 若给出图形 请用文字语言叙述它的对称性,用符号如何表示? ③ 若 f ( x+2 ) =f ( x ),你能有何结论?如何用文字语言叙述,用符号表示? 生 1 : ① f ( -x ) =-f ( x ) 生 2 : ② 函数 f ( x )关于 x=1 对称,即 f ( 1+x ) =f ( 1-x ) 生 3 : ③ f ( x )是周期函数,周期为 T=2 ,示意图: 师:由 f ( x+2 ) =-f ( x )你能说出什么信息? 生: f ( x )的周期是 T=4 师:为什么?能否用图象解释? 生:将式中的 x 用 x+2 来替代,得到: f ( x+4 ) =-f ( x+2 ) 又因为 -f ( x+2 ) =f ( x ),所以 f ( x+4 ) =f ( x )即: T=4 但是不太用图像来解释 师:提示: 从图示看出 f ( x+4 ) =f ( x )的周期为 4 。 总结:通过对函数的奇偶性、对称性、周期性等性质的复习,我们要熟悉数学的文字语言,符号语言,图形语言三种语言的转换。 好,下面我们来看例 1 例 1 :设 f ( x )是( -∞ , +∞ )上的奇函数, f ( x+2 ) =-f ( x ),当 0≤x≤1 时, f ( x ) =x ,则 f ( 7.5 ) =? 生 1 :利用周期性 由 f ( x+2 ) =-f ( x )可得到 f ( x+4 ) =f ( x ) 所以 f ( 7.5 ) =f(8-0.5)=f(-0.5)=-0.5 生 2 :直接利用 f ( x+2 ) =-f ( x ) f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f[-f(3.5)]=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5)=-0.5 师:还有其他方法吗? f ( x )是奇函数且 f ( x+2 ) =-f ( x ),除了能说出周期 T=4 外,还能说出哪些信息?(师提示) 生: f ( x+2 ) =-f ( x ) =f ( -x ) 而 f ( x+2 ) =f ( -x )得到 f ( x )关于直线 x=1 对称 师:很好,你能否根据函数的对称性、周期性及奇偶性,画出它的图象?从而利用图象来解题呢? 生: 从图中可以看出 f ( 7.5 ) =f(-0.5)=-0.5 师:我们在解题的过程中,应善于利用数形结合的思想方法,有时能收到意想不到的效果的。 师总结:方法一:主要要求对符号的深刻理解及获取信息 方法二:利用 f ( x+2 ) =-f ( x ),通过转化达到解题的目的,渗透了转化的思想 方法三:利用函数的几何性质,通过作图,利用数形结合的思想来解题。 下面我们来将这道题目进行变化: 变化 1 :已知条件不变,问题变为当 x ∈ [-1 , 0] 时,求 f ( x )的解析式 生 1 :设 x ∈ [-1 , 0] 则 -x ∈ [0 , 1] ∴ f ( -x ) =-x ,又 ∵ f ( -x ) =-f ( x ) ∴ f ( x ) =x ∴ 当 x ∈ [-1 , 0] 时, f ( x ) =x 师:能否总结一下解题步骤? 生 2 :小结:首先要 “ 问啥设啥 ” ,不要把变量设错了区间; 第二,把变量转化到已知区间上去 最后,再利用函数的奇偶性、周期性求出 f ( x )的解析式。 变化 2 :当 -1≤x≤1 时, f ( x )的解析式 生:由已知和变化 1 可知当 -1≤x≤1 时, f ( x ) =x 变化 3 :当 x ∈ [3 , 5] 时,求 f ( x )的'解析式 生:设 x ∈ [3 , 5] ,则 x-4 ∈ [-1 , 1] ∴ f ( x-4 ) =x-4 ∵ T=4 ∴ f ( x ) =x-4 变化 4 :当 x ∈ [1 , 3] 时,求 f ( x )的解析式 生:设 x ∈ [1 , 3] ,则 x-2 ∈ [-1 , 1] ∴ f ( x-2 ) =x-2 ∵ T=4 ∴ f ( x-2 ) =f ( x+4-2 ) =f ( x+2 ) =-f ( x ) ∴ -f ( x ) =x-2 ∴ f ( x ) =2-x 师:小结:上面这四个变化训练要求我们要掌握代数变换这种数学方法,体会化归转化的思想在解题过程中的运用。 例 2 :定义在( -∞ , +∞ )上的偶函数 y=f ( x )满足关系 f ( x+2 ) =-f ( x )且 f ( x )在区间 [-2 , 0] 上是增函数,那么以下结论正确的有 ① y=f ( x )是周期函数 ② y=f ( x )的图象关于直线 x=2 对称 ③ y=f ( x )在区间 [2 , 4] 上是减函数 ④ f ( ) =f ( ) 生 1 : ① f ( x )是周期函数, T=4 师: ② 分析:要证明直线 x=2 是 y=f ( x )图象的对称轴,只需要证明什么关系式成立? 生:只需证 f ( 2-x ) =f ( 2+x ) 或证 f ( -x ) =f ( 4+x ) 或证 f ( x ) =f ( 4-x ) 师:那我们选择证第三个等式 f ( x ) =f ( 4-x )成立 生: ∵ f ( x )的周期 T=4 ,且 f ( x )是偶函数 ∴ f ( 4-x ) =f ( -x ) =f ( x )即 f ( x ) =f ( 4-x ) ∴ y=f ( x )图象的对称轴 x=2 ③ :生 1 :有已知在区间 [-2 , 0] 上, y=f ( x )是增函数,由于 y=f ( x )是偶函数,其图象关于 y 轴对称,那么在 [0 , 2] 上 y=f ( x )是减函数,又由于 y=f ( x )图象关于直线 x=2 对称,所以 y=f ( x )在区间 [2 , 4] 上是增函数 所以结论错误 生 2 :也可以借助于图象(示意图)证明 ③ 是错误的 ④ :生 3 :由于 f ( x )在区间 [0 , 2] 上是递减的 ∴ f ( ) >f ( ) ∴ 结论错误 师:请同学们课后对问题进行延伸思考: 通过以上两个例题,我们发现这样一个结论: 如果 f ( x )具备奇偶性,同时 f ( x )的图象还关于某条直线对称,则 f ( x )是周期函数,你认为这个结论成立吗?请证明。 课堂总结:(师生共同完成) 要求对函数性质有深刻的理解及三种数学语言的理解转化 掌握代表变换的方法,体会数形结合、化归思想在解题过程中的应用 进一步培养学生的抽象思维能力 课堂检测: 已知定义在 R 上的周期函数 y=f ( x ),周期 T=4 ,若 y=f ( x )的图象关于直线 x=2 成轴对称图形 求证: y=f ( x )是偶函数 五、课后反思 这节课的教学环节,设计比较合理。特别是课前的复习导入,加强学生对数学的文字语言、符号语言、图形语言三种语言理解和相互转换,为突破本节课的难点做了有益的铺垫。 例 1 的三种解法和四种变化,从不同的角度和方面加深了学生对函数有关概念性质的理解,对数学语言阅读能力的培养,同时对提高他们的抽象思维能力是极有好处的 学生课堂上的反映热烈,积极参与,回答问题踊跃。特别是一些平时成绩偏下的学生也积极发言,很想表现自己,渴望得到来势和同学的认可。看来,如果平时也经常关注这部分学生,多给他们成功的机会,调动他们参与课堂的积极性,那么他们一定回愿意学,乐于学,学好的 从课堂小测反馈的情况看,有少数学生对这部分内容的掌握还有困难,不会阅读,理解数学符号,因此运用起来感到比较困难,无从下手解题,因此对这部分学生还得加强课后的辅导督促其落实 课堂上程序基本上是老师设计安排好的,没有让学生发现问题、提出问题,从而解决问题,这对培养学生的创新意识和能力是有碍的,这也是本人感到困惑的地方,在高三的复习时间紧迫的情况下,在课堂上,如何既让学生有一定的时间体会探索,发散思维,甚至充分暴露思维的错误,又能按时完成课时进度,落实各个知识点,不影响应试考试的成绩。这实在是太难了啊!

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