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角的平分线 —— 初中数学第四册教案

时间:2022-08-17 01:52:51 八年级数学教案 我要投稿
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角的平分线 —— 初中数学第四册教案


3.9角的平分线

角的平分线 —— 初中数学第四册教案

教学目标

1.掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用.

2.理解原命题和逆命题的概念和关系,会找一个简单命题的逆命题.

3.渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。

教学重点和难点

角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点.

性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点.

教学过程设计

一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明

1,复习引入课题.

(1)提问关于直角三角形全等的判定定理.

(2)让学生用量角器画出图3-86中的∠AOB的角

平分线OC.

2.画图探索角平分线的性质并证明之.

(1)在图3-86中,让学生在角平分线OC上任取一

点P,并分别作出表示P点到∠AOB两边的距离的线段

PD,PE.

(2)这两个距离的大小之间有什么关系?为什么?学生度量后得出猜想,并用直角三角形全等的知识进行证明,得出定理.

(3)引导学生叙述角平分线的性质定理(定理1),分析定理的条件、结论,并根据相应图形写出表达式.

 

3.逆向思维探求角平分线的判定定理.

(1)让学生将定理1的条件、结论进行交换,并思考所得命题是否成立?如何证明?请一位同学叙述证明过程,得出定理2——角平分线的判定定理.

(2)教师随后强调定理1与定理2的区别:已知角平分线用性质为定理1,由所给条件判定出角平分线是定理2.

(3)教师指出:直接使用两个定理不用再证全等,可简化解题过程.

4.理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合.

(1)角平分线上任意一点(运动显示)到角的两边的距离都相等(渗透集合的纯粹性).

(2)在角的内部,到角的两边距离相等的点(运动显示)都在这个角的平分线上(而不在其它位置,渗透集合的完备性).

由此得出结论:角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.

二、应用举例、变式练习

练习1填空:如图3-86(1)∵OC平分∠AOB,点P在射线OC上,PD⊥OA于D

PE⊥OB于E.∴---------(角平分线的性质定理).

(2)∵PD⊥OA,PE⊥OB,----------∴ OP平分∠AOB(-------------)     

例1已知:如图3-87(a),     ABC的角平分线BD和CE交于F.

(l)求证:F到AB,BC和 AC边的距离相等;

(2)求证:AF平分∠BAC;

(3)求证:三角形中三条内角的平分线交于一点,而且这点到三角形三边的距离相等;

(4)怎样找△ABC内到三边距离相等的点?

(5)若将“两内角平分线BD,CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD,CE交于F,如图3-87(b),那么(1)~(3)题的结论是否会改变?怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点?共有多少个?

说明:

(1)通过此题达到巩固角平分线的性质定理(第(1)题)和判定定理(第(2)题)的目的.

(2)此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法:先确定两条直线交于某一点,再证明这点在第三条直线上。

(3)引导学生对题目的条件进行类比联想(第(5)题),观察结论如何变化,培养发散思维能力.

练习2已知△ABC,在△ABC内求作一点P,使它到△ABC三边的距离相等.

练习 3已知:如图 3-88,在四边形 ABCD中, AB=AD, AB⊥BC,AD⊥DC.求证:点 C在∠DAB的平分线上.

 

例2已知:如图 3- 89,OE平分∠AOB,EC⊥OA于 C,ED⊥OB于 D.求证:(1)OC=OD;(2)OE垂直平分CD.

分析:证明第(1)题时,利用“等角的余角相等”可得到∠OEC=∠OED,再利用角平分线的性质定理得到 OC=OD.这样处理,可避免证明两个三角形全等.

练习4  课本第54页的练习.

说明:训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力.

三、互逆命题,互逆定理的定义及应用

1.互逆命题、互逆定理的定义.

教师引导学生分析角平分线的性质,判定定理的题设、结论,使学生看到这两个命题的题设和结论正好相反,得出互逆命题、互逆定理的定义,并举出学过的互逆命题、互逆定理的例子.教师强调“互逆命题”是两个命题之间的关系,其中任何一个做为原命题,那么另一个就是它的逆命题.

2.会找一个命题的逆命题,并判定它是真、假命题.

例3写出下列命题的逆命题,并判断(1)~(5)中原命题和它的逆命题是真命题还是假命题:

(1)两直线平行,同位角相等;

(2)直角三角形的两锐角互余;

(3)对顶角相等;

(4)全等三角形的对应角相等;

(5)如果|x|=|y|,那么x=y;

(6)等腰三角形的两个底角相等;

(7)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

说明:注意逆命题语言的准确描述,例如第(6)题的逆命题不能说成是“两底角相等的三角形是等腰三角形”.

3.理解互逆命题、互逆定理的有关结论.

例4  判断下列命题是否正确:

(1)错误的命题没有逆命题;

(2)每个命题都有逆命题;

(3)一个真命题的逆命题一定是正确的;

(4)一个假命题的逆命题一定是错误的;

(5)每一个定理都一定有逆定理.

通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义.

四、师生共同小结

1.角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么?

2.三角形的角平分线有什么性质?怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点?

3.怎样找一个命题的逆命题?原命题与逆命题是否同真、同假?

五、作业

课本第55页第3,5,6,7,8,9题.

课堂教学设计说明

本教学设计需2课时完成.

角平分线是符合某种条件的动点的集合,因此,利用教具,投影或计算机演示动点运动的过程和规律,更能展示知识的形成过程,有利于学生自己观察,探索新知识,从中提高兴趣,以充分培养能力,发挥学生学习的主动性.

 

3.9角的平分线

教学目标

1.掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用.

2.理解原命题和逆命题的概念和关系,会找一个简单命题的逆命题.

3.渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。

教学重点和难点

角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点.

性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点.

教学过程设计

一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明

1,复习引入课题.

(1)提问关于直角三角形全等的判定定理.

(2)让学生用量角器画出图3-86中的∠AOB的角

平分线OC.

2.画图探索角平分线的性质并证明之.

(1)在图3-86中,让学生在角平分线OC上任取一

点P,并分别作出表示P点到∠AOB两边的距离的线段

PD,PE.

(2)这两个距离的大小之间有什么关系?为什么?学生度量后得出猜想,并用直角三角形全等的知识进行证明,得出定理.

(3)引导学生叙述角平分线的性质定理(定理1),分析定理的条件、结论,并根据相应图形写出表达式.

 

3.逆向思维探求角平分线的判定定理.

(1)让学生将定理1的条件、结论进行交换,并思考所得命题是否成立?如何证明?请一位同学叙述证明过程,得出定理2——角平分线的判定定理.

(2)教师随后强调定理1与定理2的区别:已知角平分线用性质为定理1,由所给条件判定出角平分线是定理2.

(3)教师指出:直接使用两个定理不用再证全等,可简化解题过程.

4.理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合.

(1)角平分线上任意一点(运动显示)到角的两边的距离都相等(渗透集合的纯粹性).

(2)在角的内部,到角的两边距离相等的点(运动显示)都在这个角的平分线上(而不在其它位置,渗透集合的完备性).

由此得出结论:角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.

二、应用举例、变式练习

练习1填空:如图3-86(1)∵OC平分∠AOB,点P在射线OC上,PD⊥OA于D

PE⊥OB于E.∴---------(角平分线的性质定理).

(2)∵PD⊥OA,PE⊥OB,----------∴ OP平分∠AOB(-------------)     

例1已知:如图3-87(a),     ABC的角平分线BD和CE交于F.

(l)求证:F到AB,BC和 AC边的距离相等;

(2)求证:AF平分∠BAC;

(3)求证:三角形中三条内角的平分线交于一点,而且这点到三角形三边的距离相等;

(4)怎样找△ABC内到三边距离相等的点?

(5)若将“两内角平分线BD,CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD,CE交于F,如图3-87(b),那么(1)~(3)题的结论是否会改变?怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点?共有多少个?

说明:

(1)通过此题达到巩固角平分线的性质定理(第(1)题)和判定定理(第(2)题)的目的.

(2)此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法:先确定两条直线交于某一点,再证明这点在第三条直线上。

(3)引导学生对题目的条件进行类比联想(第(5)题),观察结论如何变化,培养发散思维能力.

练习2已知△ABC,在△ABC内求作一点P,使它到△ABC三边的距离相等.

练习 3已知:如图 3-88,在四边形 ABCD中, AB=AD, AB⊥BC,AD⊥DC.求证:点 C在∠DAB的平分线上.

 

例2已知:如图 3- 89,OE平分∠AOB,EC⊥OA于 C,ED⊥OB于 D.求证:(1)OC=OD;(2)OE垂直平分CD.

分析:证明第(1)题时,利用“等角的余角相等”可得到∠OEC=∠OED,再利用角平分线的性质定理得到 OC=OD.这样处理,可避免证明两个三角形全等.

练习4  课本第54页的练习.

说明:训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力.

三、互逆命题,互逆定理的定义及应用

1.互逆命题、互逆定理的定义.

教师引导学生分析角平分线的性质,判定定理的题设、结论,使学生看到这两个命题的题设和结论正好相反,得出互逆命题、互逆定理的定义,并举出学过的互逆命题、互逆定理的例子.教师强调“互逆命题”是两个命题之间的关系,其中任何一个做为原命题,那么另一个就是它的逆命题.

2.会找一个命题的逆命题,并判定它是真、假命题.

例3写出下列命题的逆命题,并判断(1)~(5)中原命题和它的逆命题是真命题还是假命题:

(1)两直线平行,同位角相等;

(2)直角三角形的两锐角互余;

(3)对顶角相等;

(4)全等三角形的对应角相等;

(5)如果|x|=|y|,那么x=y;

(6)等腰三角形的两个底角相等;

(7)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

说明:注意逆命题语言的准确描述,例如第(6)题的逆命题不能说成是“两底角相等的三角形是等腰三角形”.

3.理解互逆命题、互逆定理的有关结论.

例4  判断下列命题是否正确:

(1)错误的命题没有逆命题;

(2)每个命题都有逆命题;

(3)一个真命题的逆命题一定是正确的;

(4)一个假命题的逆命题一定是错误的;

(5)每一个定理都一定有逆定理.

通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义.

四、师生共同小结

1.角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么?

2.三角形的角平分线有什么性质?怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点?

3.怎样找一个命题的逆命题?原命题与逆命题是否同真、同假?

五、作业

课本第55页第3,5,6,7,8,9题.

课堂教学设计说明

本教学设计需2课时完成.

角平分线是符合某种条件的动点的集合,因此,利用教具,投影或计算机演示动点运动的过程和规律,更能展示知识的形成过程,有利于学生自己观察,探索新知识,从中提高兴趣,以充分培养能力,发挥学生学习的主动性.

 



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