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美国小学数学中解题策略的教学

2008-08-07

一 加强解题策略教学的重要性

美国小学数学中解题策略的教学

  近年来美国小学数学中一项重要的改革就是加强解问题策略的教学。80年代初,美国全国数学教师协会曾提出解问题是中小学数学教学的重点,同时也提出数学的基本技能应包括比计算能力更多的内容,其中就有关于解题策略的问题。1988年在第六届国际数学教育会议上也提出使学生学会使用解题的策略。80年代末,美国新拟订的《中小学数学课程和评价标准》中,对这方面进一步加以强调,每个学段的第一条标准就是学习和应用解问题的策略。此后陆续在美国小学数学教科书中编入了有关解题策略的内容。

  为什么美国如此重视解题策略的教学呢?这是为了适应现代社会发展需要。美国数学教育工作者认为,美国已进入信息社会,需要能处理信息的人,能用数学方法解问题的人,因此使学生掌握解题的策略就成为数学教学必不可少的内容。这与过去美国小学数学中侧重培养学生解决实际问题的能力有很大不同。过去的小学数学中解问题的教学目的只限于了解实际问题和能够解决一些简单的实际问题本身。而现在除了要达到上述目的以外,还要使学生掌握解问题的各种策略,培养一般的解题能力和处理信息的能力,开发学生的智力,使学生能够适应不断变化的社会,即使遇到新的问题也能够应用已掌握的解题策略予以解决。显然这是美国小学数学教学的一项重大改革措施。

二 教学解题策略的内容

  美国小学数学中不采用“解应用题”这个名称,而叫“解问题(solving problem)。”问题的范围比我国所说的应用题的范围广泛,既包括实际应用的问题,也包括一些非实际应用的文字题、思考题。因此解题的策略也比较广泛。既有一般的解题策略,又有特殊的解题策略;另外为适应现代信息社会的需要,还提出一些初步应用近代、现代数学方法解题的策略。下面分别作一简单介绍。

  (一)一般解题策略

  在一般解题策略方面,主要是教学解题的一般步骤,这与我国小学数学中讲的应用题的步骤基本相同。美国把解题步骤分为以下四步:1.理解题意;2.做解题计划;3.按计划解答;4.回答和检验。在课本中有时举例集中进行全面的讲解,有时进行单项的讲解和练习。

  1.关于第一步,十分重视数据的收集。各套课本中都安排较多的使用统计图表中数据收集的练习。低年级多以形象图的形式出现,高年级多以统计表的形式出现。例如,五年级出现如下的表:

  (1)温度0°c,风速10千米时,风冷系数是多少?

  (2)温度—5°c,风冷系数—16°c,风速是多少?

  课本中还注意安排有多余或缺少信息的题目的单项练习。例如,“托姆有4只小狗,萨姆有3只小猫,巴布有5只小狗。一共有多少只小狗?”“同学们去钓鱼,一半人没去过,没去过的有多少同学?”通过这样的题目,可以使学生根据问题正确选择必需的已知数,从而有助于提高学生分析问题的能力。

  2.关于第三步,十分注意正确选择运算方法的训练。例如,给出同样的已知条件,如两种物品的数量,先提问求它们一共有多少,再提问求它们相差多少。此外也出乘、除法对照的应用题。

  3.关于第四步,十分注意检验答案的正确性。一方面教给学生检验的方法,如用减法验算加法,用乘法验算除法等,通过不同的运算方法检查计算结果是否正确;另一方面教给学生用估算检查计算结果的高位数是否无误。此外还注意教学生判断答案是否合理。一是注意得数怎样才算合理。如下面几道题都要算150除以60,但是答案不一样:“150支铅笔,均分给60个学生,每人分得几支?”(答:2支)“150个同学,每只船可以乘60个同学,需要几只船?”(答:3只)“一部电影放映150分钟,要放映多少小

  矶有480千米,汽车一小时行80千米,到那里要多长?选择答案:60小时,60千米,6小时。

  (二)特殊解题策略

  一般有以下几种:

  1.画图:通过画图帮助理解数量关系。例如,“俱乐部成员锯木做家具,要把一块木板锯成10块,每锯一次需用5分钟,一共需用多少分钟?”通过画图可知需要锯9次,从而容易算出需用的时间。

  2.简化题目:一种是把原题里较复杂的大数改换为简单的较小的数,使题目变得容易。另外一种是把叙述较为复杂的题目改换为叙述较为简单的题目,使题里的数量关系更清楚。

  3.尝试和猜想:通过猜想试算,逐步调整试算结果求得正确答案。例如,“索尼亚买3本书共付22.5元。其中《神秘的洞穴》比《隐藏的财宝》少1元,《隐藏的财宝》比《奇怪的城市》少1元。每本书的价钱是多少?”第一次尝试:21接近22.5,能被3除尽,平均每本书的价钱是7元;试把《隐藏的财宝》定作7元,则 6+7+8=21(元),接近 22. 5元,但还差 1. 5元。第二次尝试:给每本书加 0. 5元,则 6. 5+7. 5+8. 5=22. 5(元),总钱数正好是22.5元。由此可知每本书的价钱。

  4.逆推:有些逆向思考的题目可以采用逆推的方法。例如,“阿伯特工作3小时,得到的钱买了一束花,用去9.8元,还剩2.95元。她每小时工作得多少钱?”画图帮助分析:

  逆推时用相反的运算。

  5.用方程解:因为不专门讲简易方程,所以把用方程解问题作为解题策略的一部分。一般只限于含有一两步计算的。

  6.用公式解:如求长方形的周长或面积,求长方体的体积。

  (三)用近代、现代数学方法解题的策略

  这是美国小学数学解题策略的一个重要特点。通过教学使学生既初步了解一些近代、现代数学的思想方法,又提高处理信息和解实际问题的能力。一般有如下几种:

  1.分类:从低年级起就注意做分类的练习。例如,把同类的物品圈起来。较高年级让学生把有关的物体集合用图表示。例如,出示下面两图:

  然后让学生把两个集合圈合并画在一起,成下图

  2.组织数据:渗透统计思想和方法。例如,文具店统计几种物品的数量如下,然后列表计算。

  3.样本与预测:渗透统计思想和方法。例如,有4000人要进城游行,市里让他们填卡片,写出姓名和住址。要知道他们住哪个区各有多少人,不翻遍所有卡片,该怎样做才能知道?可以用样本来预测。从4000张随意抽出100张卡片,分给5个人,每人20张,分别做出统计如下表:

 

  4.计算概率:例如,6个小正方体,其中有2个是兰色,2个是绿色,

  5.使用范型:即找出数或形的排列规律,然后运用规律进行计算或判断。例如,爱德沃今天在银行存1分,明天存2分,次一天存4分,第四天存7分,第五天存11分……照这样继续下去,第十天该存多少钱?为了解这道题,可以做如下的表,找出范型。

  从表中找出范型是每天存的钱数依次比前一天分别增加1、2、3、4、5……分,第十天应存46分,也就是比第一天多存1+2+3+4+5+6+7+8+9=45(分),即存 1+45=46(分)。

  6.使用树图:例如,商店有两种电话机,一种是按键的,一种是转盘的。每种电话机又有红、黄、绿3种颜色。每种颜色的电话机又有方、圆两种形状。一共有多少种可供顾客选择?为了解这道题,可画树图如下

  从图中可以看出一共有 12种。写成算式是 2 × 3× 2=12(种)。

  7.开放性题目:一般有两种情况。一种是一道题有不同解法的,另一种是一道题有不同答案的。对后一种举例如下。

  例1:画出几种物品,分别注明单价,如衬衣10.99元,裤子13.5元,唱片5.98元,玩具车3.92元,腊笔1.6元。塔德要花8—10元,他能买上面哪些物品?

  例2:停车场有汽车和摩托车,共42个轮子,可能各有几辆?可以列表如下:

  从表中看出,可以有10种答案。

  8.做决策:这是现代数学方法中的一种。在小学只能出现极简单的具体的。例如,“唐纳要买辆自行车,价值290元。他已储蓄了225元,每周打工可以挣40元。有3种选择,可以根据具体情况做决策。

  (1)储蓄到够290元再买。

  (2)当时付90元,然后每月付19元,付一年。

  (3)当时不付款,每月付28元,付一年。

  需求出每种选择所付款的总数,然后比较哪种有利,哪种不利。

  (1)哪种选择付款最少?

  (2)哪种选择可以立刻得到自行车?

  (3)唐纳能挣够钱数来支付每种选择所需的款吗?

  (4)唐纳按哪种选择付钱要少些,是第二种还是第三种?

  (5)如果你是唐纳,你选择哪一种?

  可以看出上述几个问题,并不都是只有一个答案,至于第(5)小题更是因人而异。

  9.逻辑思考:包括的内容很多,这里只举几个有代表性的例子。

  例1:琴娜可能买胡萝卜或梨,她不想买胡萝卜,她想买什么?

  例2:甲不如乙高,但他比丙高。谁最矮?

  例3:甲乙丙三人分别是钳工、电工和园丁,但甲不是钳工也不是园丁,乙不是钳工。确定他们每人的'职业。

  找出答案的一种方法是建立一个表,如右表所示。

  想:甲不是钳工也不是园丁,因此是电工。

  乙不是钳工也不是电工,因此是园丁。

  那么丙不是电工和园丁,必是钳工。

  例4:四年级有学生28人,其中14人参加乐队,9人参加游泳队,有4人参加了这两种活动。多少人未参加这两种活动?

  想:只参加乐队未参加游泳队的是14-4=10(人)。只参加游泳队未参加乐队的是9-4=5(人)。参加乐队和参加游泳队的一共是10+5+4=19(人)。所以未参加这两种活动的是28-19=9(人)。

三 教学解题策略的安排

  美国小学数学课本中对解题策略的教学,同其他内容一样,也十分注意合理的安排。具体地说,有以下几个特点。

  (一)适应学生的年龄特点,从三年级开始正式教学。解题策略的教学,需要学生有一些数学知识基础,适当积累一些解题的经验,才比较容易接受。因此从三年级正式开始教学解题策略是比较合适的。但是在一、二年级也注意适当渗透一些有关解题策略的内容,如从图中找数据,看形象统计图,选择运算,初步认识解题步骤,开放性题目等。只是以更具体、简易的形式出现。如解题的四个步骤,在一、二年级是这样出现的:(1)知道什么?求什么?(2)要解这道题该做什么?(3)做。(4)检验。到三年级正式教学时在此基础上再加以概括。

  (二)分散安排,与其他教学内容适当配合。前面介绍的解题策略,分散安排在各年级的各单元中,都用小标题标出,而且很多解题策略,在不同年级重复出现,其中计算的内容尽量与本年级教学内容相配合。例如,三年级学过一些小数加减法,估算内容中就以小数加减法为主;四年级学过一些小数乘除法,估算内容中就以小数乘除为主。又例如,讲概率的计算需要有分数的基础,就在分数的认识之后出现概率。

  (三)遵循由易到难、由简到繁、由具体到抽象的编排原则。例如,找范型这一解题策略,在各个年级都出现了,但是题目的难易和繁简有所不同。低年级着重出现看图找规律的,中年级除了继续出现低年级的形式外,还出现看到一列数来找规律的,以后进一步出现列表找规律的。又例如,逻辑思考这一解题策略,低年级出现使用“和”“或”的语句,中年级出现利用规律解题,高年级出现利用集合图解题。

四 一点看法

  从前面对美国小学数学中解题策略教学的简要介绍可以看出,加强这方面的教学,有利于提高小学生的解题能力,促进小学生思维能力的发展。尽管在安排处理上还存在不足之处,如有些解题策略的选取还值得研究,对多步题的练习少了些,有些解题策略的安排还缺乏层次性等,但是改革的方向是对的,是适应现代社会发展需要的。

  美国加强解题策略的教学对我国小学数学应用题教学的改革有一定的启发。建国以来,我国小学数学应用题的教学做了一些改革,但是还很不够,特别是还没有跳出传统应用题教学的框框。应用题教学的内容,基本还局限在原来的范围之内,只是做了一些简化和较为合理的安排;在解题思路方面开始有所重视,在课本中也有所体现,但是还缺乏系统的安排。同美国的解题策略的教学相比,存在一定的差距。

  为了进一步改革应用题教学,更好地提高学生的解题能力,发展

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学生的智力,希望我们的教科书编者、教研人员、广大教师都来研究在小学数学中如何加强解题策略的教学。首先明确应用题教学改革的方向,如何确定应用题教学的内容和范围,如何适当安排解题策略的教学。其次要大力开展应用题教学的改革实验,支持带有方向性的改革实验,集中大家的智慧,使我国小学数学应用题更前进一步,为培养我国现代化建设需要的人才打好基础做出更大的贡献。

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