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数学学科论文

2006-11-24

  摘要 从产生的历史、研究对象和研究方法3个方面说明,使高等数学的初学者能够在初等数学即常量数学的基础上顺利进入高等数学即变量数学的学习。

  关键词 高等数学;初等数学;数学史;研究对象;研究方法

  高等数学是理、工、经、管类各专业大学生的一门重要专业基础课,近年来有些文科专业如英语、法律也开设相应的文科高等数学课程,说明高等数学的广泛应用性得到越来越多人的认识。如何学好高等数学是人们共同关注的问题。由于高等数学与初等数学所处历史时期不同,使得它们的研究对象、研究方法有着很大的不同。这使得有些学生在开始学习高等数学时有些迷茫,不明白数学怎么突然变了样子,导致不易入门,对高等数学产生抵触情绪,学不好高等数学。注意是学好高等数学的重要环节,可以让学生顺利进入高等数学的学习,为专业课程的学习打好基础。

  1 初等数学与高等数学处在不同历史时期[1]

  数学来源于人类的生产实践,又随着人类社会的发展而发展,数学是研究现实世界的数量关系与空间几何形状的科学,数学是研究数与形的科学。因此,数学发展经历了几个历史时期。

  1。1 数学的萌芽时期

  远古时代至公元前6世纪,人类处于原始社会。社会实践活动主要是打猎与采集野果,形成整数概念,建立简单运算,产生几何上一些简单知识。这一时期的数学知识是零碎的,没有命题的证明和演绎推理。小学数学的内容基本是这一时期的数学成果。

  1。2 常量数学时期

  公元前6世纪至17世纪上半叶,人类处于原始社会和封建社会,对自然的认识主要限于陆地,依靠感观认识世界。所以这时期数学研究的主要是常量和不变的图形,形成比较系统的知识体系、比较抽象的并有独立的演绎体系的学科。中国古代数学名著《九章算术》和古希腊的《几何原本》是代表作。中学数学课程的主要内容基本上是这一时期的成果。

  1。3 变量数学时期

  公元17世纪上半叶至19世纪20年代,人类处于封建社会末期资本主义初期,经历了著名的文艺复兴。为了通商的需要,人类开始大规模地、看不见陆地地航海,所以,这时期数学研究的主要内容是数量的变化及几何变换。笛卡尔的解析几何学、牛顿—莱布尼茨的微积分及围绕微积分的理论和应用而发展起来的一大批数学分支,使数学进入一个繁荣的时代。大学的高等数学课程的主要内容基本上是这一时期的成果。

  1。4 近代数学时期

  19世纪20年代至20世纪40年代,微积分基础的严格化、近世代数的`问世、非欧几何的诞生、集合论的创立都是这一时期的成就。空前的创造精神和严格化是其主要特点。这些理论已进入大学高年级及研究生的学位课程中。

  1。5 现代数学时期

  20世纪40年代至今,以数学理论为基础的计算机的发明使数学得到空前广泛的应用,泛函分析、模糊数学、分形几何、混沌理论等新兴数学分支产生。这些理论已进入大学高年级及研究生的学位课程中。

  2 初等数学与高等数学的研究对象不同

  以图形对照的形式说明二者的区别和联系,如图1所示(左侧为初等数学的研究内容,右侧为高等数学的研究内容)。

  3 举3个例说明高等数学与初等数学在思想方法上的区别与联系

  【例1】曲线的切线

  初等数学给出圆的切线是与圆只有一个交点的直线,曲线的切线显然不能照此定义,曲线的切线定义为割线的极限位置。如曲线的切线斜率是多少?(见图2)

  割线斜率的定义与计算属初等数学的内容,在割线斜率的基础上考虑M点沿曲线无限靠近P(0,5)点,从而得到P点的切线的斜率,这一定义与方法属高等数学的内容。

  【例2】曲边形的面积

  求由x轴,x=1,y=x2所围图形的面积。

  如图3所示,用曲边三角形内n个小矩形的面积和来近似曲边三角形的面积,得出面积的近似值。

  曲边三角形面积近似值的求法与计算属初等数学的内容,在近似值基础上让n趋于无穷从而求得准确值的方法属高等数学的内容。

  【例3】无限项求和

  上述3个例子,例1体现了微分学的思想,例2体现了积分学的思想,例3体现了无穷级数的思想。从例子可看出:用初等数学的方法解决这类问题,只能得到近似值,得不到最终答案;要得到精确答案,必须在一个无限变化的过程中来考察问题,这正是高等数学的思想方法。

  总之,高等数学与初等数学的区别在于研究对象和方法上的不同:初等数学研究的是规则、平直的几何对象和均匀有限过程的常量,亦称常量数学,思想方法上片面、孤立、静止地考虑问题;高等数学在初等数学的基础上研究的是不规则、弯曲的几何对象和非均匀无限变化过程的变量,思想方法上是在变化运动中考虑问题,也就是极限的方法。

  高等数学与初等数学因其所处历史时期不同,因此研究对象不同,研究方法不同。人们要随着这种不同转变学习时的思想方法,把初等数学的片面、孤立、静止的思想方法转变成在变化运动中考虑问题的极限方法,这样就能很快适应高等数学的学习,迅速入门,学好高等数学。

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